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Binômio de Newton

Binômio de Newton
Introdução
    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b+ 4ab3 + b4

    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência  a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais
    Sendo e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por  (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:
      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
   Exemplos:


Propriedades dos coeficientes binomiais
1ª)
Se n, p, k   e p + k = n então 
   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
   Exemplos:

2ª)
Se n, p, k   e p  p-1  0 então 
   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
   Exemplos:

Triângulo de Pascal
    A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,   como  na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal
    Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais  ,  e  estão na linha 3 e os números binomiais ,, ..., , ... estão na coluna 1.
    Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal
    Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
      que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
      de Stifel).
        Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

Propriedade do triângulo de Pascal
P1   Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
     
   De fato, esses binomiais são complementares.

P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .
              
   De modo geral temos:

P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 211 + 4 + 10 + 20 = 35

P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35


Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
   Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:
  • quando n = 0 temos 
  • quando n = 1 temos 
  • quando n = 2 temos 
  • quando n = 3 temos 
  • quando n = 4 temos 

    Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
   De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
    Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui     n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binômio
   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)n,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .
  • Quando p = 0 temos o 1º termo: 
  • Quando p = 1 temos o 2º termo: 
  • Quando p = 2 temos o 3º termo: 
  • Quando p = 3 temos o 4º termo: 
  • Quando p = 4 temos o 5º termo: 
    ..............................................................................
   Percebemos, então, que um termo qualquer de ordem p + 1 pode ser expresso por:




























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