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ENEM - Relações métricas no triângulo retângulo


Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:



a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas



Relações métricas nos triângulos retângulos 
Projeção ortogonal de segmentos: 

Elementos de um triângulo retângulo 
No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos: 

Relações métricas num triângulo retângulo
Vejamos: 
Relações das semelhanças dos triângulos:
1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa. 
2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
Logo, temos: 
3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
Logo, temos: 
4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das medidas dos catetos. 
Logo, temos: 
Resumo das relações métricas no triângulo retângulo 
No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos: 



Resumindo:

Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m (Relações de Euclides
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h (derivado do teorema de Pitágoras)

- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.

Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados nas figuras:

a)

Pelo teorema de Pitágoras:

13² = 12² + x² 
169 = 144 + x² 

x² = 25
x = 5

Como ah = bc


5.12 = 13.y
y = 60/13





b)




Pelo teorema de Pitágoras:

5² = 3 + x² 
25 = 9 + x² 

x² = 16
x = 4

Como ah = bc

5.h= 3 * 4
5h = 12
h = 12/5
h = 2,4

Como c² = an

9 = 5 n
n = 9/5
n = 1,8

Como b² = am

16 = 5 m
n = 3,2



c)

d)

d² = 4² + 5¢

d = sqrt (41)

Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.


l² = l²/4 + h²
Multiplicando a equação por 4
4l² = l² + 4h²
Isolando o h
4h² = 4l² - l²
h² = 3l²/4

h = l *Sqrt(3)/2





Determine x nas figuras.

a)


O triângulo ABC é eqüilátero.

b)


c)


Determine a diagonal de um quadrado de lado l.



Razões trigonométricas

Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a

- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a

- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e

Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º

Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....

Ângulos notáveis

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

No triângulo ABD, temos:


Observação: sen45° = cos45°


Resumindo temos a tabela:




Exercícios resolvidos:

1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5


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