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ENEM - Permutação circular

Na matemática, permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

É definida pela fórmula:
       Pc(m) = m!/m 
       Assim:
Pc(m)=(m-1)!
  • Exemplo 1: Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
    P(4) = (4-1)! = 3! = 6
  • Exemplo 2: Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?
    P(10) = (10-1)! = 9! = 362880
  • Exemplo 3: 5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que haja repetição?
    P(5) = (5-1)! = 4! = 24


1) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentres essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único elemento. Veja afigura 1 abaixo:
faq10-01.gif (3163 bytes)
Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando apermutação circular de 5 elementos, calculamos o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe.

Permutação circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:

Pc5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24


Portanto, para o pai a esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai pode estar a direita da mãe, como na figura 2, e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente Pc5).

Portanto, o número total de disposições é 48.

2) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
No total temos 5 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutação Circular. Mas agora a restrição é diferente, os dois meninos NÃO podem ficar juntos. Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições (sem restrição) e diminuir deste resultado o número de disposições em que os meninos estão juntos (para calcular o número de disposições deles juntos, fazemos como no exercício 1).
O número total de disposições é Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.
Agora, para calcular o número de disposições com os meninos juntos, devemos amarrá-los e tratá-los como um único elemento, lembrando que podemos ter duas situações:
faq10-02.gif (3372 bytes)
O número total de disposições com os meninos juntos é 2.Pc4  (4 elementos pois os meninos estão juntos e valem por 1). Calculando este valor:
2.Pc4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12
Portanto, o número de disposições em que os meninos não estão juntos é 24-12=12.

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