Pular para o conteúdo principal

Sequências e Progressões – Parte 2

Matemática Pura

Galera! E aí, viram o post sobre P.A.? Gostaram? Peço encarecidamente que avaliem os post ao seu fim, pois assim saberei melhor como vai a qualidade do blog. Dado o aviso, continuemos.
Nosso assunto de hoje são as progressões geométricas, ou, como vulgarmente conhecidas, P.G.’s.
Definição 1: Uma progressão geométrica é uma sequência na qual an = qan-1, onde an e an-1 são termos da sequência e q é denominada a razão da P.G.
Portanto, uma P.G. é uma sequência na qual o crescimento dos termos é exponencial:
Proposição 1: O termo geral de uma P.G. pode ser escrito como clip_image002
Demonstração: Podemos, indutivamente, provar que clip_image004
Para n=2, é trivial
Agora, suponhamos clip_image006. Pela definição,
clip_image008
Que completa a demonstração. clip_image010
Assim, temos alguns problemas que já podemos fazer sobre P.G.’s:
Problema 1: Calcule x, em radianos, sabendo que clip_image012 formam uma P.G.
Resolução:
clip_image014
clip_image016
clip_image018
clip_image020
clip_image022
A P.G. em questão é, portanto, clip_image024, e clip_image026clip_image010[1]
Problema 2: Mostre que clip_image028 é uma P.G.
Resolução:
clip_image030
,
clip_image032
E, de modo geral,
clip_image034
e

clip_image036
Logo, eles formam uma P.G. de razão clip_image038clip_image010[2]

podemos, agora, partir para nossa próxima
Proposição 2: a soma dos primeiros termos de uma P.G. é
clip_image040
Demonstração: façamos
clip_image042
Multiplicando por clip_image044:
clip_image046
Resolvendo em função de clip_image048
clip_image050
clip_image040[1]
Como queríamos demonstrar clip_image010[3]
Corolário 1: Quando clip_image052,
clip_image054
Demonstração: Só temos que aplicar
clip_image056
Mas, como clip_image052[1], quando este número é elevado a uma potência muito grande, este tende a zero. Portanto,
clip_image058
Como desejado clip_image010[4]
Portanto, terminados os teoremas, vamos à parte prática das coisas:
Problema 3: Calcule

clip_image060
Resolução:
clip_image062
Multipliquemos por clip_image064:
clip_image066
clip_image068
clip_image070
clip_image072
Problema 4: (IMO-1962) Resolva

clip_image074
Resolução: Ao ver que se trata de uma expressão trigonométrica, podemos pensar: como podemos associar a essa expressão uma P.G.? Resposta: Números complexos!
Primeiro, efetuemos
clip_image076
Portanto, a equação se transforma em
clip_image078
Utilizando
clip_image080
Agora que entra a P.G.!
clip_image082
Mas, pela propriedade de complexos,
clip_image084
E
clip_image086
Então
clip_image088
Como queremos a parte real da expressão acima, temos que ter
clip_image090
Logo, temos de resolver
clip_image092
Mas, por Prostaférese (para você que não entendeu muito dessa solução, não se desespere! Vamos postar algo sobre Prostaférese e essas transformações “complexas”),
clip_image094
Logo,
clip_image096
Utilizando Prostaférese novamente,
clip_image098
Então, temos de resolver
clip_image100
clip_image102
clip_image104
E
clip_image106
clip_image108
clip_image110
Problema 5: Achar
clip_image112
Onde o último número tem dígitos.
Resolução: Transformemos
clip_image114
Então
clip_image116
clip_image118
Problema 6: Ache uma fórmula fechada para
clip_image120
(deixado como exercício)
E aqui termina mais um post. Como prometi ao postar sobre P.A.’s, veio cedo. E, caso tenham soluções para o Problema 6, podem enviar como comentário ou, ainda, mandar para joaopedroblogger@hotmail.com , meu e-mail.


Postagens mais visitadas deste blog

Canções para TFM

DEMÔNIOS CAMUFLADOS DEMÔNIOS CAMUFLADOS VÃO SAIR DA ESCURIDÃO,
SENTINELA ENSANGUENTADO VAI ROLANDO PELO CHÃO,
E PERGUNTEM DE ONDE VENHO, VENHO DA ESCURIDÃO,
TRAGO A MORTE, O DESESPERO E A TOTAL DESTRUIÇÃO.
ARMADILHAS CAMUFLADAS, ACIONADORES DE TRAÇÃO,
QUEM VIER ATRAS DE MIM SÓ VAI OUVIR A EXPLOSÃO(CABUM)
SANGUE FRIO EM MINHAS VEIAS CONGELOU MEU CORAÇÃO
NÓS GOSTAMOS DE EXPLOSIVOS NOSSO LEMA É VIBRAÇÃO.
QUEM ÉS TU? QUEM ÉS TU?
QUE DESCE DO CÉU!
COM ASAS DE PRATA POR SOBE O BRASIL!
GUERREIRO ALADO, QUE NÃO SENTE DOR!
PARAQUEDISTA, COMANF, MERGULHADOR!
A SUA MISSÃO É DESTRUIR
A TROPA INIMIGA QUE TENTA INVADIR

CORRIDINHA MIXURUCA CORRIDINHA MIXURUCA,
QUE NÃO DÁ NEM PARA CANÇAR.
NESSE PASSO, NESSE PASSO,
VOLTA AO MUNDO EU VOU DAR.
NESSE PASSO, NESSE PASSO
TODOS JUNTOS VÃO CHEGAR.
E SE ALGUÉM NÃO AGUENTAR,
EU VOU TER QUE ARRASTAR.
E SE O ARRASTO ME MATAR, PODES CRER TU VAI FICA
VAI FICAR NA MÃO DE OUTRO – ATÉ EU ME RECUPERAR.
POIS NESSE PASSO, NESSE PASSO,
MESMO MORTO VOU TE BUSCAR.




SALTITANDO, SALTI…

Canções Militares para o TFM.

Essas canções são usadas durante o Treinamento Físico Militar nas Forças Armadas, das Polícias Militares e Corpos de Bombeiros Militares.
Demônios Camuflados Demônios camuflados vão sair da escuridão,
sentinela ensanguentado vai rolando pelo chão,
e perguntem de onde venho, venho da escuridão,
trago a morte, o desespero e a total destruição.
Armadilhas camufladas, acionadores de tração,
Quem vier atras de mim só vai ouvir a explosão(Cabum)
Sangue frio em minhas veias congelou meu coração
Nós gostamos de explosivos nosso lema é vibração.
Quem és Tu? Quem és tu?
Que desce do céu!
Com asas de prata por sobe o Brasil!
Guerreiro alado, que não sente dor!
Paraquedista, Comanf, Mergulhador!
A sua missão é destruir
A tropa inimiga que tenta invadir

Corridinha Mixuruca Corridinha mixuruca,
que não dá nem para cançar.
Nesse passo, nesse passo,
Volta ao mundo eu vou dar.
Nesse passo, nesse passo
Todos juntos vão chegar.
E se alguém não aguentar,
Eu vou ter que arrastar.
E se o arrasto me matar, podes c…

Termodinâmica

Termodinâmica