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ENEM - Sequências e Progressões

Site Matemática Pura

Bem, pessoal, voltando à parte didática do blog, hoje apresentaremos uma breve introdução ao estudo de sequências, com destaque para as Progressões Aritméticas, ou P.A.’s como denotaremos, e, no próximo post, as Progressões Geométricas, ou P.G.’s. Vamos definir cada uma das duas e, depois, iremos iniciar as sequências mais generalizadas.
Definição 1: Uma sequência é uma ordenação (finita ou não) de números contidos em certo conjunto. Cada termo de uma sequência é indicado por sua posição na ordenação. Ou seja, podemos definir uma sequência também como uma função, geralmente definida como clip_image002 (também pode ser o conjunto dos inteiros no domínio).
Por exemplo, a sequência definida por clip_image004clip_image006clip_image008 é uma sequência de números inteiros. (Problema: Você saberia achar uma fórmula fechada para esta sequência?)
Existem vários tipos de sequências: definidas recursivamente, definidas através de uma fórmula fechada,definidas como um termo de uma matriz, e várias outras.
No geral, teremos que entender uma sequência apenas como uma ordenação, pelo menos por essa aula.
Tendo entendido, podemos prosseguir para o que realmente nos interessa.
Definição 2: Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números tais que o n-ésimo termo é a soma do (n-1)-ésimo termo com um número constante, r, que chamamos da razão da P.A.
Então, podemos formular uma P.A. como segue:
“Dado clip_image010, temos que a P.A. é uma sequência tal que clip_image012.”
Então, podemos avançar para o seguinte
Teorema 1: O n-ésimo termo de uma P.A. pode ser escrito como clip_image014
Demonstração: Façamos clip_image016. Assim, podemos “telescopar” essa soma:

clip_image016[1]

clip_image018
clip_image020
clip_image022
clip_image024
Donde segue a fórmula. clip_image026
Exemplo 1: Dado clip_image028 e clip_image030, ache clip_image032.
Resoluçãoclip_image034.
Exemplo 2: Determine o gráfico, não necessariamente contínuo, de uma P.A.
Resolução: Seja clip_image014[1]. Chamando clip_image036clip_image038clip_image040 , temos
clip_image042, que é uma função afim. Logo, ao “unirmos” os pontos (pois uma P.A. associa somente abscissas inteiras), teremos uma reta.
Porém, o mais importante sobre progressões aritméticas é a soma dos n termos. Com esse dado, poderemos resolver inúmeros problemas sobre progressões aritméticas, pois, quando falamos de P.A.’s, a teoria toda está baseada nesses dois teoremas. Mas antes, precisaremos do seguinte
Lema 1: A soma dos extremos em uma P.A. é constante, ou seja, clip_image044
Demonstração do Lemaclip_image046clip_image048, ..., clip_image050, que é o que queríamos demonstrar. clip_image026[1]
Agora, podemos partir para o teorema importante:
Teorema 2: A soma dos termos de uma P.A., dados clip_image010[1]clip_image052, é
clip_image054Demonstração 1: Façamos indução em n:
P(1), trivial
P(k+1), suponhamos que, para algum k, seja verificado que
clip_image056
Então,
clip_image058
clip_image060
Que prova o passo indutivo. clip_image026[2]
Demonstração 2: Façamos um “triângulo”, como na figura

clip_image010[2]

clip_image062
clip_image064
clip_image066
clip_image068

Ao colocarmos uma “cópia” do triângulo, como na figura abaixo, obtemos

clip_image070

clip_image070[1]
clip_image070[2]
clip_image020[1]

clip_image070[3]
Mas, a soma de cada linha é igual a clip_image072, pois temos clip_image074 cópias do clip_image076e duas do clip_image010[3]. Assim, a soma total é clip_image078. Como temos duas cópias do triângulo,
clip_image080
Agora, resolvamos alguns exercícios interessantes:
1 – Prove que, dada uma P.A. com clip_image082, então o produto de quaisquer 4 termos consecutivos somado à razão elevada à quarta potência é um quadrado de um racional.
Resolução: Seja clip_image084para algum clip_image086. Então, podemos fazer clip_image088, para k ímpar. Então, existem termos clip_image090clip_image092clip_image094clip_image096 que são termos consecutivos da P.A. Seu produto, então, é
clip_image098
Somando à razão elevada à quarta potência,
clip_image100
Que é o resultado desejado. clip_image026[3]
2 – (IME-97) Determine as possíveis P.A.’s para as quais o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n .
Resolução: Seja clip_image010[4] seu primeiro termo e clip_image102 sua razão. Então,
clip_image104
clip_image106
Logo, tomando clip_image108 e clip_image110,
clip_image112
clip_image114
clip_image116
clip_image118
Temos, então, dois tipos de P.A. que nos satisfazem: as constantes (clip_image120), e as nas quais clip_image122clip_image026[4]
3 –(ITA-2005) Seja clip_image124uma PA infinita tal que
clip_image126
Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
Resolução: Para clip_image110[1],
clip_image128
E, para clip_image130clip_image132
clip_image134
clip_image136
clip_image026[5]
4 – (Proposto pela Checoslováquia para a IMO-1969) Sejam d e p reais arbitrários. Ache o primeiro termo da progressão aritmética de razão clip_image138 tal que clip_image140. Ache o número de soluções em termos de clip_image138[1] e clip_image142.
Resolução: Façamos clip_image144 e clip_image146. Logo,
clip_image148
Efetuando clip_image150,
clip_image152
clip_image154
clip_image156
Substituindo em clip_image158,
clip_image160

clip_image162

clip_image164
Agora, analisaremos caso a caso:
i) Nenhuma solução Real:
clip_image166
clip_image168
ii) Uma solução Real:
clip_image170
a)

clip_image172

clip_image174
b)
clip_image176
iii) Duas soluções Reais:
clip_image178
clip_image180
iv) Três soluções Reais:
Vemos bem facilmente que esse caso é impossível de ocorrer.
v) Quatro soluções Reais:
clip_image182
clip_image184
clip_image186
a)
clip_image188
clip_image190
b)
clip_image192
Satisfeito para todo clip_image142[1] satisfazendo a condição pré-determinada.
Bem, aqui acaba nosso post sobre Progressão Aritmética. Em breve, teremos um post sobre P.G.’s. Assim que terminarmos esses assuntos tão importantes ao ensino médio atual, entraremos nas sequências mais gerais, algo não tão útil ao ensino médio, porém, em minha opinião, muito mais interessante.


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