ENEM - Sequências e Progressões

Site Matemática Pura

Bem, pessoal, voltando à parte didática do blog, hoje apresentaremos uma breve introdução ao estudo de sequências, com destaque para as Progressões Aritméticas, ou P.A.’s como denotaremos, e, no próximo post, as Progressões Geométricas, ou P.G.’s. Vamos definir cada uma das duas e, depois, iremos iniciar as sequências mais generalizadas.

Definição 1: Uma sequência é uma ordenação (finita ou não) de números contidos em certo conjunto. Cada termo de uma sequência é indicado por sua posição na ordenação. Ou seja, podemos definir uma sequência também como uma função, geralmente definida como  (também pode ser o conjunto dos inteiros no domínio).

Por exemplo, a sequência definida por , ,  é uma sequência de números inteiros. (Problema: Você saberia achar uma fórmula fechada para esta sequência?)

Existem vários tipos de sequências: definidas recursivamente, definidas através de uma fórmula fechada,definidas como um termo de uma matriz, e várias outras.

No geral, teremos que entender uma sequência apenas como uma ordenação, pelo menos por essa aula.

Tendo entendido, podemos prosseguir para o que realmente nos interessa.

Definição 2: Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números tais que o n-ésimo termo é a soma do (n-1)-ésimo termo com um número constante, r, que chamamos da razão da P.A.

Então, podemos formular uma P.A. como segue:

“Dado , temos que a P.A. é uma sequência tal que .”

Então, podemos avançar para o seguinte

Teorema 1: O n-ésimo termo de uma P.A. pode ser escrito como 

Demonstração: Façamos . Assim, podemos “telescopar” essa soma:

Donde segue a fórmula. 

Exemplo 1: Dado  e , ache .

Resolução: .

Exemplo 2: Determine o gráfico, não necessariamente contínuo, de uma P.A.

Resolução: Seja . Chamando , ,  , temos

, que é uma função afim. Logo, ao “unirmos” os pontos (pois uma P.A. associa somente abscissas inteiras), teremos uma reta.

Porém, o mais importante sobre progressões aritméticas é a soma dos n termos. Com esse dado, poderemos resolver inúmeros problemas sobre progressões aritméticas, pois, quando falamos de P.A.’s, a teoria toda está baseada nesses dois teoremas. Mas antes, precisaremos do seguinte

Lema 1: A soma dos extremos em uma P.A. é constante, ou seja, 

Demonstração do Lema: , , ..., , que é o que queríamos demonstrar. 

Agora, podemos partir para o teorema importante:

Teorema 2: A soma dos termos de uma P.A., dados , , é

Demonstração 1: Façamos indução em n:

P(1), trivial

P(k+1), suponhamos que, para algum k, seja verificado que

Então,

Que prova o passo indutivo. 

Demonstração 2: Façamos um “triângulo”, como na figura

Ao colocarmos uma “cópia” do triângulo, como na figura abaixo, obtemos

Mas, a soma de cada linha é igual a , pois temos  cópias do e duas do . Assim, a soma total é . Como temos duas cópias do triângulo,

Agora, resolvamos alguns exercícios interessantes:

1 – Prove que, dada uma P.A. com , então o produto de quaisquer 4 termos consecutivos somado à razão elevada à quarta potência é um quadrado de um racional.

Resolução: Seja para algum . Então, podemos fazer , para k ímpar. Então, existem termos , , e  que são termos consecutivos da P.A. Seu produto, então, é

Somando à razão elevada à quarta potência,

Que é o resultado desejado. 

2 – (IME-97) Determine as possíveis P.A.’s para as quais o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n .

Resolução: Seja  seu primeiro termo e  sua razão. Então,

Logo, tomando  e ,

Temos, então, dois tipos de P.A. que nos satisfazem: as constantes (), e as nas quais . 

3 –(ITA-2005) Seja uma PA infinita tal que

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

Resolução: Para ,

E, para 

4 – (Proposto pela Checoslováquia para a IMO-1969) Sejam d e p reais arbitrários. Ache o primeiro termo da progressão aritmética de razão  tal que . Ache o número de soluções em termos de  e .

Resolução: Façamos  e . Logo,

Efetuando ,

Substituindo em ,

Agora, analisaremos caso a caso:

i) Nenhuma solução Real:

ii) Uma solução Real:

a)

b)

iii) Duas soluções Reais:

iv) Três soluções Reais:

Vemos bem facilmente que esse caso é impossível de ocorrer.

v) Quatro soluções Reais:

a)

b)

Satisfeito para todo  satisfazendo a condição pré-determinada.

Bem, aqui acaba nosso post sobre Progressão Aritmética. Em breve, teremos um post sobre P.G.’s. Assim que terminarmos esses assuntos tão importantes ao ensino médio atual, entraremos nas sequências mais gerais, algo não tão útil ao ensino médio, porém, em minha opinião, muito mais interessante.

http://amatematicapura.blogspot.com.br/2012/06/sequencias-e-progressoes.html