O empréstimo para o fazendeiro

MMN e Propedêutica


O empréstimo para o fazendeiro

O fazendeiro pegou um empréstimo e agora precisa saber quantos animais ele pode comprar seguindo as restrições do gerente.


Um fazendeiro foi ao encontro de seu gerente de banco pedir um empréstimo para comprar animais. O gerente fez um acordo com o ele. Ele disse que emprestaria R$ 100,00 e que o fazendeiro não precisaria devolver o dinheiro ao banco caso conseguisse comprar exatamente 100 cabeças (animais) com os R$ 100,00.

A única regra do acordo era que o fazendeiro comprasse pelo menos um animal de cada um desses tipos: bois, porcos e ovelhas. Cada boi custa R$ 10,00. Cada porco custa R$ 3,00 e as ovelhas custam, cada uma, R$ 0,50. Quantos animais de cada tipo o fazendeiro comprou?

Admita "b" como sendo o número de bois comprados, "p" com sendo o número de porcos comprados, e "v" como sendo o número de ovelhas compradas. Sabemos que o número total de animais comprados é 100. Além disso, sabemos também que o valor total da compra será de 100 reais. Portanto, temos duas equações:

  • b + p + v = 100 (I)
  • 10b + 3p + 0.5v = 100 (II)
Multiplicando a equação II por 2, temos:
20b + 6p + v = 200 (III)
Se subtrairmos a equação I da equação acima, eliminaremos "v" e teremos a seguinte equação:


20b + 6p + v = 200 (III)

- b   -  p    - v  = -100 (- I)

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19b + 5p = 100

Reescrevendo:
100 – 19b = 5p
Uma vez que "b" e "p" são números inteiros não-negativos, nós podemos definir as possíveis soluções rapidamente. Sabemos que "b" não pode ser maior ou igual a 6, porque "p", nesse caso, seria negativo. Com isso, podemos somente considerar 1, 2, 3, 4 e 5 como valores possíveis de "b". Substituir 1, 2, 3 ou 4 em "b", entretanto, torna o lado esquerdo da equação não-divisível por 5, o que faria com que "p" fosse um número não-inteiro. Logo, "b" deve ser 5. Substituindo "b" na equação acima, temos:
100 – 19b = 5p
100 - 95 = 5p
5 = 5p
5/5 = 5p/5

p = 1


100 – 19b = 5p

100 - 19 b = 5

19b = 100 - 5

19b = 95

19b/19 = 95/19

b = 5
Agora, podemos substituir os valores de "b" e "p" em uma das equações originais (substituir na equação I torna a resolução mais fácil), e achar "v":
b + p + v = 100
5 + 1 + v = 100
6 + v = 100
v = 100 - 6

v = 94



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Portanto, o fazendeiro comprou 5 bois (R$ 50,00), 1 porco (R$ 3,00) e 94 ovelhas (R$ 47,00).
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