43 - Limites



43 - Limites


Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

xy = 2x + 1
1,54
1,33,6
1,13,2
1,053,1
1,023,04
1,013,02
x
y = 2x + 1
0,52
0,72,4
0,92,8
0,952,9
0,982,96
0,992,98
   Notamos que à medida que se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x 1), y tende para 3 (y  3), ou seja:
    Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
    Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando tende para 1 ( 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x 3), dizemos que o limite de f(x) quando  1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para = 1 o valor de f(x) não seja 3.
    De forma geral, escrevemos:

se, quando se aproxima de a ( a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).
                        
                        Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
                        
   Podemos notar que quando se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y  3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
                          
   Se g: IR  IR e g(x) = x + 2,  g(x) =  (+ 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.







Limites
Propriedades dos Limites
1ª)    
   O limite da soma é a soma dos limites.
   O limite da diferença é a diferença dos limites.

   Exemplo:
   

2ª)    
   O limite do produto é o produto dos limites.
   Exemplo:
   

3ª)    
   O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
   Exemplo:
   

4ª)    
   Exemplo:
   

5ª)    
   Exemplo:
   

6ª)    
    Exemplo:
   

7ª)    
   Exemplo:
   

8ª)    
   Exemplo:
   

Limites
Limites Laterais
   Se x se aproxima de através de valores maiores que ou pela sua direita, escrevemos:
    Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
   Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
    Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
    O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

  • Se 
  • Se 

Continuidade
   Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Propriedade das Funções contínuas
   Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
  •  f(x)g(x) é contínua em a;
  • f(x) . g(x) é contínua em a;
  • é contínua em .
Limites
Limites envolvendo infinito
   Conforme sabemos, a expressão  (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real.
    Exemplo:
a)    , ou seja, à medida que x aumenta,  y tende para zero e o limite é zero.
b)    , ou seja, à medida que diminui,  tende para zero e o limite é zero. 
c)    , ou seja, quando  x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d)    , ou seja, quando x  tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, ytende para menos infinito

Limite de uma função polinomial para 
    Seja a função polinomial . Então:
    Demonstração:
     
    Mas:
    
    Logo:
    
    De forma análoga, para  , temos:
    Exemplos:
    


Limites
Limites trigonométricos
 
    Demonstração:
    Para ,  temos  sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
    
    Invertendo, temos:
    
    Mas:
  •  
  • g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, 


Limites
Limites exponenciais
    Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracionale cujo valor aproximado é  2,7182818.
    Veja a tabela com valores de e de 

x
123101001 00010 000100 000
22,252,37032,59372,70482,71692,71812,7182
    Notamos que à medida que .
    De forma análoga, efetuando a substituição , temos:


    Ainda de forma mais geral, temos :

    As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. 
    Se ,então  .
    Mas:

    
    Logo: 
   
    Como x 0 , então u  0. Portanto:
   
   Generalizando a propriedade acima, temos .

















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