Teorema de Tales: importante ferramenta na determinação de medidas utilizando a proporcionalidade
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:
Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporci
onalmente correspondentes”.“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporci
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:
Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6
Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6
Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir:
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6
Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6
Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir:
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
- Questão 1Na figura a seguir temos que a // b // c // d. Aplicando o Teorema de Tales determine os valores de x, z e y.
- Questão 2(Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? - Questão 3Sabendo que as retas a, b e c são paralelas, utilize o Teorema de Tales e determine o valor de x na figura a seguir:
- Questão 4Aplique o Teorema de Tales no intuito de determinar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas.
- Questão 5(Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?
- Questão 6(Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?
Respostas
- Resposta Questão 1Pelo Teorema de Tales temos que:
Solução: x = 6, z = 6 e y = 8. - Resposta Questão 2
Aplicando o Teorema de Tales temos a seguinte situação:
O muro do terreno II que faz frente com a Rua das Rosas deverá ter 32 metros de comprimento. - Resposta Questão 3Pelo Teorema de Tales temos que:
. Aplicando a propriedade das proporções, na igualdade entre as razões, determinaremos o valor de x, veja:
Os possíveis valores de x que satisfazem a proporção são -1,5 e 6. - Resposta Questão 4De acordo com o Teorema de Tales temos:
O valor de x de acordo com o Teorema de Tales é 7,5. - Resposta Questão 5
Lote I: 80 metros
Lote II: 60 metros
Lote III: 40 metros
- Resposta Questão 6
De acordo com o Teorema de Tales:
A altura do poste é correspondente a 20 metros.
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