Nesta primeira parte, veremos a caixa em forma de paralelepípedo retângulo.
Certo dia um colega do DAC (Departamento de Administração e Contabilidade) da UFCG, fez-me a seguinte pergunta: quando eu cursava o ensino médio (antigo secundário), o professor de matemática apresentou-nos duas fórmulas que dão ternos pitagóricos:
Fórmula de Pitágoras:
Fórmula de Platão:
Pergunto-lhe: para que serve, na prática, os ternos pitagóricos?
Mesmo sendo de uma área de humanas, sempre fui fanático pela teoria dos números. E após tomar conhecimento de um dos pensamentos de Einstein, o qual diz: "A imaginação é mais importante que o conhecimento", comecei a imaginar que tipo de problema eu poderia apresentar ao meu colega, que para solucioná-lo teria que usar os ternos pitagóricos.
Decorridos alguns dias, apresentei, ao colega, o seguinte problema:
Suponha, caro colega, que você deseja montar um pequenonegócio, após sua aposentadoria, voltado para a confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo, obedecendo às seguintes exigências de mercado: a medida do lado menor de cada caixa, obrigatoriamente, tem que ser 
(onde 
é um primo) e, além disso, a diagonal da base da caixa e as dimensões da caixam sejam números inteiros. Quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas? Quais as dimensões de cada caixa?
Resolução: A figura abaixo é um paralelepípedo retângulo, onde são mostradas, respectivamente, a diagonal da base e a diagonal do paralelepípedo.
Como os triângulos 
e 
são retângulos e, além disso, 
, então, fazendo coincidir 
com 
, obtém-se:
A diagonal (
) da base é tal que 
. Para a diagonal () do paralelepípedo, temos:
Portanto, a fim de que os lados, a altura e a diagonal da base do paralelepípedo sejam números inteiros, basta que os dois ternos 
e 
sejam pitagóricos.
Já que , logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra 
.
Seja 
o lado menor de cada caixa. Como o triângulo tem que ser pitagórico, logo, ou 
. Uma vez que 
e são inteiros, logo, 
tem que dividir 
sem deixar resto. Logo, são os divisores positivos de . Como é um primo ímpar, os divisores de são: , e 
. Substituindo , e , obtém-se os seguintes sistemas de equações:
Dos três sistemas de equações acima, somente o 
é compatível. Resolvendo o , obtém-se:
Já que , então 
. Por outro lado, sendo um primo ímpar, então é um primo ímpar ou número ímpar composto.
Se for um primo ímpar, então, chega-se aos mesmos resultados que se chegou para , ou seja, três sistemas de equações, 
,
e , dos quais somente o é compatível e obtém-se para e 
as seguintes expressões:
Se for um número composto ímpar, então, . Como e são inteiros, logo, 
são os divisores positivos de 
. Então, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de vezes em que 
dividir sem deixar resto. Se , então
Resposta: Se e forem dois primos ímpares, então, só é possível confeccionar uma única caixa.
As medidas das diagonais são dadas por:
,
As dimensões da caixa são dadas por:
Se for um número primo ímpar e um número ímpar composto, então, o número de caixas que poderá ser confeccionado será igual ao número de vezes em que 
sem deixar restos.
As medidas das diagonais são dadas por:
Note que: só será inteiro se 
dividir .
As medidas das dimensões são dadas por:
Exemplo 1: Suponha que seja feita uma encomenda de caixas, com as seguintes condições: as dimensões, a diagonal da base e a diagonal de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, uma das dimensões de cada caixa tenha, por exemplo, 
(primo ímpar). Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja:
a) máximo;
b) mínimo.
Resolução:
Cálculo da diagonal da caixa: Como 
, vem 
.
Como a diagonal da base é um número ímpar composto, logo, o número de caixas que poderá ser confeccionado será igual ao número de vezes em que 
dividir 
sem deixar resto. Os divisores de menores que são: e 
. Portanto, poderão ser confeccionadas duas caixas com o lado menor igual a 
.
Cálculo da diagonal de cada caixa:
Para 
e 
, temos:
caixa: 
Para e 
, temos:
caixa: 
Cálculo das dimensões de cada caixa
caixa: 
Verificação:
caixa:
e
Verificação:
Volume da caixa: 
Volume da caixa: 
Resposta: Podem ser confeccionadas duas caixas, cada caixa com um das dimensões igual a .
a) volume máximo: 
(primeira caixa)
b) volume mínimo: 
(segunda caixa)
Exemplo 2: Suponha que seja feita uma encomenda de caixas, com as seguintes condições: as dimensões, a diagonal da base e a diagonal de caixa sejam números inteiros e, além disso, uma das dimensões de cada caixa tenha, por exemplo, 
. Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja:
a) máximo;
b) mínimo.
Resolução: Como é par, o número de diagonais da caixa será igual ao número de vezes em que 
sem deixar resto. Os divisores pares de 
menores que , são: 
, 
, 
e 
. Logo, 
e .
Cálculo da diagonal da base de cada caixa:
Para 
e 
, temos: 
Para e 
, temos: 
Para e 
, temos: 
Para e 
, temos: 
Como 
é um número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a 
.
Cálculo da diagonal da caixa:
Como , obtém-se 
Cálculo das dimensões da caixa:
Como 
é par, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que 
(par) 
sem deixar resto. Os divisores de 
menores que , são: , , , 
e 
. Logo, 
e .
Cálculo da diagonal das outras caixas:
Para 
e 
, temos: 
Para e 
, obtém-se: 
Para e 
, obtém-se: 
Para e 
, obtém-se: 
Para e 
, obtém-se: (
não divide 
)
Cálculo das dimensões da caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Como 
é um número ímpar composto, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que 
dividir 
sem deixar resto. Os divisores de menores que são: 
e 
. Logo, , 
, e .
Cálculo da diagonal de cada caixa:
Para 
e , temos:
Para e 
, obtém-se:
Para 
e , obtém-se:
Para e 
, obtém-se:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Cálculo das dimensões da 
caixa:
Como 
é umn número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a 
.
Cálculo da diagonal da 
caixa:
Como , obtém-se:
Cálculo das dimensões da caixa:
Assim, podem ser confeccionadas dez caixas, cada caixa com uma das dimensões igual a 
, sendo a caixa possui volume máximo igual a 
e a caixa possui volume mínimo igual a 
.
Conclusão: Dadas as condições de que as dimensões, a diagonal da base e a diagonal, de uma determinada caixa, sejam números inteiros, se entre as diagonais da base existirem números compostos e primos ímpares, então, entre todas as caixas a de maior volume será aquela que tiver a diagonal da base expressa por um primo ímpar maior do que qualquer número composto.
Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br
Postado por Prof. Paulo Sérgio em Fatos Matemáticos
(onde é um primo) e, além disso, a diagonal da base da caixa e as dimensões da caixam sejam números inteiros. Quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas? Quais as dimensões de cada caixa? 
e são retângulos e, além disso, , então, fazendo coincidir com , obtém-se:
) da base é tal que . Para a diagonal () do paralelepípedo, temos: e sejam pitagóricos., logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra . o lado menor de cada caixa. Como o triângulo tem que ser pitagórico, logo, ou . Uma vez que e são inteiros, logo, tem que dividir sem deixar resto. Logo, são os divisores positivos de . Como é um primo ímpar, os divisores de são: , e . Substituindo , e , obtém-se os seguintes sistemas de equações: é compatível. Resolvendo o , obtém-se:, então . Por outro lado, sendo um primo ímpar, então é um primo ímpar ou número ímpar composto. for um primo ímpar, então, chega-se aos mesmos resultados que se chegou para , ou seja, três sistemas de equações, , e , dos quais somente o é compatível e obtém-se para e as seguintes expressões: for um número composto ímpar, então, . Como e são inteiros, logo, são os divisores positivos de . Então, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de vezes em que dividir sem deixar resto. Se , então e forem dois primos ímpares, então, só é possível confeccionar uma única caixa., for um número primo ímpar e um número ímpar composto, então, o número de caixas que poderá ser confeccionado será igual ao número de vezes em que sem deixar restos. só será inteiro se dividir . (primo ímpar). Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja:, vem . dividir sem deixar resto. Os divisores de menores que são: e . Portanto, poderão ser confeccionadas duas caixas com o lado menor igual a . e , temos: caixa: e , temos: caixa: caixa: caixa: e caixa: caixa: . (primeira caixa) (segunda caixa). Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja: é par, o número de diagonais da caixa será igual ao número de vezes em que sem deixar resto. Os divisores pares de menores que , são: , , e . Logo, e . e , temos: e , temos: e , temos: e , temos: é um número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a . caixa:, obtém-se caixa: é par, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que (par) sem deixar resto. Os divisores de menores que , são: , , , e . Logo, e . e , temos: e , obtém-se: e , obtém-se: e , obtém-se: e , obtém-se: ( não divide ) caixa: caixa: caixa: caixa: é um número ímpar composto, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que dividir sem deixar resto. Os divisores de menores que são: e . Logo, , , e . e , temos: e , obtém-se: e , obtém-se: e , obtém-se: caixa: caixa: caixa: caixa: é umn número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a . caixa:, obtém-se: caixa:, sendo a caixa possui volume máximo igual a e a caixa possui volume mínimo igual a .
Nesta segunda parte, veremos um problema relacionado as caixas em forma de prisma quadrangular regular, cujo enunciado é:
"Suponha que o meu caro colega do DAC, além da confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo resolva confeccionar caixas em forma de prisma quadrangular regular, obedecendo as seguintes condições de mercado: os lados, a altura e a diagonal de cada caixa sejam números inteiros, como seria o processo de confecção de caixas?"
Resolução: Considere a figura acima. Como os triângulos e são retângulos e, além disso, 
, então, fazendo coincidir as diagonais nos dois triângulos, obtém-se:
A diagonal da base () é tal que 
. Para a diagonal (
) da caixa, temos:
Portanto, os lados, a altura, a diagonal da base e a diagonal da caixa são dadas pelos dois ternos 
e 
. Logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra 
.
Como 
e , segue que 
ou
Já que e são números inteiros, então 
é divisor de 
. Portanto, 
. Os divisores de 
são: , e . Substituino , e em obtém-se os seguintes sistemas de equações:
Resolvendo os três sistemas, obtém-se as seguintes soluções:
Como 
é par, logo, somente as soluções 
e 
são compatíveis. Além disso, para 
, temos de e que
A solução foi obtido para 
e a solução para 
. Como 
e segue que 
.
Resposta: A fim de que as dimensões das caixas e sua diagonal sejam números inteiros há dois processos de fabricação das caixas.
processo: , 
e .
processo: , e 
Exemplo de aplicação. Suponha que um certo dia o caro colega do DAC receba uma encomenda de duas caixas, em forma de prisma quadrangular regular, com as seguintes condições: as medidas dos lados de cada caixa devem ser iguais a 
, as medidas da altura e da diagonal de cada caixa devem ser números inteiros.
Resolução: Como e 
, temos 
.
Primeira caixa: 
, 
e 
Segunda caixa: , 
e 
.
Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br
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Postado por Prof. Paulo Sérgio
Nesta segunda parte, veremos um problema relacionado as caixas em forma de prisma quadrangular regular, cujo enunciado é:
"Suponha que o meu caro colega do DAC, além da confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo resolva confeccionar caixas em forma de prisma quadrangular regular, obedecendo as seguintes condições de mercado: os lados, a altura e a diagonal de cada caixa sejam números inteiros, como seria o processo de confecção de caixas?"
Resolução: Considere a figura acima. Como os triângulos e são retângulos e, além disso, , então, fazendo coincidir as diagonais nos dois triângulos, obtém-se:
e são retângulos e, além disso, , então, fazendo coincidir as diagonais nos dois triângulos, obtém-se:
A diagonal da base () é tal que . Para a diagonal () da caixa, temos:
Portanto, os lados, a altura, a diagonal da base e a diagonal da caixa são dadas pelos dois ternos e . Logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra .
e . Logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra .
Como e , segue que ou
e , segue que ou
Já que e são números inteiros, então é divisor de . Portanto, . Os divisores de são: , e . Substituino , e em obtém-se os seguintes sistemas de equações:
e são números inteiros, então é divisor de . Portanto, . Os divisores de são: , e . Substituino , e em obtém-se os seguintes sistemas de equações:
Resolvendo os três sistemas, obtém-se as seguintes soluções:
Como é par, logo, somente as soluções e são compatíveis. Além disso, para , temos de e que
é par, logo, somente as soluções e são compatíveis. Além disso, para , temos de e que
A solução foi obtido para e a solução para . Como e segue que .
foi obtido para e a solução para . Como e segue que .
Resposta: A fim de que as dimensões das caixas e sua diagonal sejam números inteiros há dois processos de fabricação das caixas.
processo: , e . processo: , e
Exemplo de aplicação. Suponha que um certo dia o caro colega do DAC receba uma encomenda de duas caixas, em forma de prisma quadrangular regular, com as seguintes condições: as medidas dos lados de cada caixa devem ser iguais a , as medidas da altura e da diagonal de cada caixa devem ser números inteiros.
, as medidas da altura e da diagonal de cada caixa devem ser números inteiros.
Resolução: Como e , temos .
e , temos .
Primeira caixa: , e
, e
Segunda caixa: , e .
, e .
Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br
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