ENEM - Interpolação de meios geométricos

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica que respeita uma lei de formação. Numa PG, todo termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e uma constante q. Essa constante q é chamada de razão da progressão geométrica. Interpolar meios geométricos entre dois números quaisquer a₁ e a_n significa determinar os números reais existentes entre a₁ e a_n para que a sequência numérica seja uma PG.

Para realização da interpolação de meios geométricos precisamos utilizar a fórmula do termo geral da PG:

Para interpolar meios geométricos, também é necessário conhecer o valor da razão da PG.

Exemplo 1. Uma PG é formada por 6 termos, onde a₁ = 4 e a₆ = 972. Determine os meios geométricos existentes entre a₁ e a₆. 

Solução: Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral.

Sabemos que a razão da PG é 3 e que cada termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e a razão. Assim, teremos:

Exemplo 2. Determine os termos que faltam na sequência numérica (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) para que tenhamos uma progressão geométrica.

Solução: Observe que descobrir os termos que faltam na sequência com extremos 3 e 1536 significa interpolar meios geométricos. Dessa forma, precisamos determinar o valor da razão dessa PG.

Pela sequência numérica dada, sabemos que a₁ = 3 e a₁₀ = 1536 (pois 1536 ocupa a décima posição na sequência). Utilizando a fórmula do termo geral, teremos:

Conhecido o valor da razão, podemos determinar os termos que faltam na sequência:

Exemplo 3. Uma indústria produziu 100 unidades de um produto no mês de janeiro. Em julho do mesmo ano, ela produziu 6400 unidades desse produto. Determine quantas unidades foram produzidas nos meses de fevereiro a junho, sabendo que as quantidades produzidas de janeiro a julho determinam uma PG.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, a sequência (100, _, _, _, _, _, 6400) é uma PG. Para resolver o problema precisamos determinar os termos que faltam nessa PG ou interpolar meios geométricos entre 100 e 6400. Assim, precisamos determinar a razão dessa PG, onde a₁ = 100 e a₇ = 6400.

Conhecido o valor da razão, temos que:

Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 200 unidades; março foi de 400 unidades; abril foi de 800 unidades; maio foi de 1600 unidades; e junho foi de 3200 unidades.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

http://www.brasilescola.com/matematica/interpolacao-meios-geometricos.htm