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Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Partes 1 e 2)



Nesta primeira parte, veremos a caixa em forma de paralelepípedo retângulo.



Certo dia um colega do DAC (Departamento de Administração e Contabilidade) da UFCG, fez-me a seguinte pergunta: quando eu cursava o ensino médio (antigo secundário), o professor de matemática apresentou-nos duas fórmulas que dão ternos pitagóricos:

Fórmula de Pitágoras:






Fórmula de Platão:





Pergunto-lhe: para que serve, na prática, os ternos pitagóricos


Mesmo sendo de uma área de humanas, sempre fui fanático pela teoria dos números. E após tomar conhecimento de um dos pensamentos de Einstein, o qual diz: "A imaginação é mais importante que o conhecimento", comecei a imaginar que tipo de problema eu poderia apresentar ao meu colega, que para solucioná-lo teria que usar os ternos pitagóricos.



Decorridos alguns dias, apresentei, ao colega, o seguinte problema:


Suponha, caro colega, que você deseja montar um pequenonegócio, após sua aposentadoria, voltado para a confecção de caixas em forma de paralelepípedo retângulo, obedecendo às seguintes exigências de mercado: a medida do lado menor de cada caixa, obrigatoriamente, tem que ser (onde é um primo) e, além disso, a diagonal da base da caixa e as dimensões da caixam sejam números inteiros. Quantas caixas diferentes poderão ser confeccionadas? Quais as dimensões de cada caixa? 



Resolução: A figura abaixo é um paralelepípedo retângulo, onde são mostradas, respectivamente, a diagonal da base e a diagonal do paralelepípedo. 




Como os triângulos e são retângulos e, além disso, , então, fazendo coincidir com , obtém-se:




A diagonal () da base é tal que . Para a diagonal () do paralelepípedo, temos:





Portanto, a fim de que os lados, a altura e a diagonal da base do paralelepípedo sejam números inteiros, basta que os dois ternos e sejam pitagóricos.



Já que , logo, as dimensões de cada caixa e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra .


Seja o lado menor de cada caixa. Como o triângulo tem que ser pitagórico, logo, ou . Uma vez que e são inteiros, logo, tem que dividir sem deixar resto. Logo, são os divisores positivos de . Como é um primo ímpar, os divisores de são: , e . Substituindo , e , obtém-se os seguintes sistemas de equações:




Dos três sistemas de equações acima, somente o é compatível. Resolvendo o , obtém-se:




Já que , então . Por outro lado, sendo um primo ímpar, então é um primo ímpar ou número ímpar composto. 



Se for um primo ímpar, então, chega-se aos mesmos resultados que se chegou para , ou seja, três sistemas de equações, , e , dos quais somente o é compatível e obtém-se para e as seguintes expressões:




Se for um número composto ímpar, então, . Como e são inteiros, logo, são os divisores positivos de . Então, o número de ternos pitagóricos é igual ao número de vezes em que dividir sem deixar resto. Se , então







Resposta: Se e forem dois primos ímpares, então, só é possível confeccionar uma única caixa.

As medidas das diagonais são dadas por:



,






As dimensões da caixa são dadas por:











Se for um número primo ímpar e um número ímpar composto, então, o número de caixas que poderá ser confeccionado será igual ao número de vezes em que sem deixar restos.



As medidas das diagonais são dadas por:








Note que: só será inteiro se dividir .


As medidas das dimensões são dadas por:











Exemplo 1: Suponha que seja feita uma encomenda de caixas, com as seguintes condições: as dimensões, a diagonal da base e a diagonal de cada caixa devem ser números inteiros e, além disso, uma das dimensões de cada caixa tenha, por exemplo, (primo ímpar). Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja:

a) máximo;
b) mínimo.



Resolução: 
Cálculo da diagonal da caixa: Como , vem .


Como a diagonal da base é um número ímpar composto, logo, o número de caixas que poderá ser confeccionado será igual ao número de vezes em que dividir sem deixar resto. Os divisores de menores que são: e . Portanto, poderão ser confeccionadas duas caixas com o lado menor igual a .



Cálculo da diagonal de cada caixa:


Para e , temos:


caixa:


Para e , temos:


caixa:


Cálculo das dimensões de cada caixa


caixa:






Verificação: 








caixa:



e

Verificação:


Volume da caixa:
Volume da caixa:


Resposta: Podem ser confeccionadas duas caixas, cada caixa com um das dimensões igual a .



a) volume máximo: (primeira caixa)
b) volume mínimo: (segunda caixa)


Exemplo 2: Suponha que seja feita uma encomenda de caixas, com as seguintes condições: as dimensões, a diagonal da base e a diagonal de caixa sejam números inteiros e, além disso, uma das dimensões de cada caixa tenha, por exemplo, . Quantas caixas poderão ser confeccionadas, e quais as dimensões de cada caixa a fim de que o volume seja:

a) máximo;
b) mínimo. 



Resolução: Como é par, o número de diagonais da caixa será igual ao número de vezes em que sem deixar resto. Os divisores pares de menores que , são: , , e . Logo, e .



Cálculo da diagonal da base de cada caixa:
Para e , temos:


Para e , temos:


Para e , temos:


Para e , temos:


Como é um número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a .

Cálculo da diagonal da caixa:

Como , obtém-se

Cálculo das dimensões da caixa:








Como é par, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que (par) sem deixar resto. Os divisores de menores que , são: , , , e . Logo, e .

Cálculo da diagonal das outras caixas:

Para e , temos:

Para e , obtém-se:

Para e , obtém-se:

Para e , obtém-se:

Para e , obtém-se: ( não divide )



Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Como é um número ímpar composto, logo, o número de diagonais da caixa é igual ao número de vezes em que dividir sem deixar resto. Os divisores de menores que são: e . Logo, , , e



Cálculo da diagonal de cada caixa:


Para e , temos:




Para e , obtém-se:




Para e , obtém-se:




Para e , obtém-se:




Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Cálculo das dimensões da caixa:




Como é umn número primo, logo, só é possível confeccionar uma caixa com a diagonal da base igual a .



Cálculo da diagonal da caixa:


Como , obtém-se:




Cálculo das dimensões da caixa:




Assim, podem ser confeccionadas dez caixas, cada caixa com uma das dimensões igual a , sendo a caixa possui volume máximo igual a e a caixa possui volume mínimo igual a .



Conclusão: Dadas as condições de que as dimensões, a diagonal da base e a diagonal, de uma determinada caixa, sejam números inteiros, se entre as diagonais da base existirem números compostos e primos ímpares, então, entre todas as caixas a de maior volume será aquela que tiver a diagonal da base expressa por um primo ímpar maior do que qualquer número composto.



Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Postado por Prof. Paulo Sérgio em Fatos Matemáticos





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