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Sistema de Numeração Binária

O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os números em determinadas situações matemáticas, é composto por dez números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O uso da Matemática em situações diversas não diz respeito somente ao homem, os computadores utilizam números para efetuar cálculos complexos com uma maior rapidez e praticidade. O sistema binário é usado pelos computadores é e constituído de dois dígitos o 0 e o 1. A combinação desses dígitos leva o computador a criar várias informações: letras, palavras, textos, cálculos.
A criação do sistema de numeração binária é atribuída ao matemático alemão Leibniz.

Numeração Binária e Numeração Decimal

Transformando decimal em binário

14(base10) = 1110(base2)

14 / 2 = 7 resto 0
7 / 2 = 3 resto 1
3 / 2 = 1 res
to 1


36(base10) = 100100(base2)

36 / 2 = 18 resto 0
18 / 2 = 9 resto 0
9 / 2 = 4 resto 1
4 / 2 = 2 resto 0
2 / 2 = 1 resto 0

O número binário será formado agrupando o último resultado seguido dos restos das divisões anteriores.

Transformando binário em decimal

110100(base2) = 52 (base10)


1
1
0
1
0
0
casa 6
casa 5
casa 4
casa 3
casa 2
casa 1
25
24
23
22
21
20
1 x 25
1 x 24
0 x 23
1 x 22
0 x 21
0 x 20
1 x 32
1 x 16
0 x 8
1 x 4
0 x 2
0 x 1
32
16
0
4
0
0

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 52

1100100(base2) = 100(base10)

1
1
0
0
1
0
0
casa 7
casa 6
casa 5
casa 4
casa 3
casa 2
casa 1
26
25
24
23
22
21
20
1 x 26
1 x 25
0 x 24
0 x 23
1 x 22
0 x 21
0 x 20
1 x 64
1 x 32
0 x 16
0 x 8
1 x 4
0 x 2
0 x 1
64
32
0
0
4
0
0

Agora é só somar: 

64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 +0 = 100


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola


Sistema Numérico Binário



O sistema numérico mais simples que usa notação posicional é o sistema numérico binário. Como o próprio nome diz, um sistema binário contém apenas dois elementos ou estados. Num sistema numérico isto é expresso como uma base dois, usando os dígitos 0 e 1. Esses dois dígitos têm o mesmo valor básico de 0 e 1 do sistema numérico decimal.
Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binário de numeração para manipular dados. Dados binários são representados por dígitos binários chamados “bits”. O termo “bit” é derivado da contração de “binary digit”. Microprocessadores operam com grupos de “bits” os quais são chamados de palavras.O número binário 1 1 1 0 1 1 0 1 contém oito “bits”.
Notação Posicional
Tal qual no sistema numérico decimal, cada posição de “bit” (dígito) de um número binário tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele número. O peso de cada posição é determinado por alguma potência da base do sistema numérico.
Para calcular o valor total do número, considere os “bits” específicos e os pesos de suas posições (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potências de 2). Por exemplo, o número binário 110101 pode ser escrito com notação posicional como segue:
(1×25)+(1×24)+(0×23)+(1×22)+(0×21)+(1×20)
Para determinar o valor decimal ao número binário 1101012, multiplique cada “bit” por seu peso posicional e some os resultados.
(1×32)+(1×16)+(0×8)+(1×4)+(0×2)+(1×1) =
32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
Potências de 2
20 =11025 =3210
21 =21026 =6410
22 =41027 =12810
23 =81028 =25610
24 =161029 =51210
Números Fracionários (Potências Negativas de 2)
Números binários fracionários são expressos como potências negativas de dois. A tabela abaixo fornece uma lista condensada das potências negativas de dois. Na notação posicional, o número binário 0.11012 pode ser expresso como se segue:(1×2-1) + (1×2-2) + (0×2-3) + (1×2-4)
Para determinar o valor decimal do número binário 0·11012, multiplique cada “bit” por seu peso posicional e some os resultados. No sistema numérico binário, o ponto base é chamado de ponto binário.
Potências Negativas de 2
2-1 =1/20,510
2-2 =1/40,2510
2-3 =1/80,12510
Conversão entre os Sistemas Numéricos Binário e Decimal
No trabalho com microprocessadores, geralmente será necessário determinar o valor decimal de números binários. Além disso, também será necessário converter um específico número decimal no seu equivalente binário. Os próximas tópicos trataremos de informações que mostram como tais conversões são feitas.
Conversão Binária para Decimal;

Conversão Decimal para Binária; e
Conversão Binária para Decimal (fração).

Conversão Binária para Decimal
Para converter um número binário no seu equivalente decimal, some todos os pesos das posições no número onde os l’s binários aparecem. Os pesos das posições inteiras e fracionárias são indicadas a seguir.
INTEIRASFRACIONÁRIAS
2726252423222120ponto
binário
.
2-12-22-3
1286432168421.5.25.125
Exemplo 1: Converter o número binário 1010 no seu equivalente decimal. Desde que nenhum ponto binário é mostrado, o número é suposto ser um número inteiro, onde o ponto binário está à direita do número.

O “bit” mais a direita, chamado o bit menos significativo ou (LSB) tem o menor peso inteiro de 20 = 1.
O “bit” mais a esquerda é o bit mais significativo ou (MSB) pois ele comporta o maior peso na determinação do valor do número neste caso, ele tem um peso de 23 = 8.

Para avaliar o número, some os pesos das posições onde os l’s binários aparecem. Neste exemplo, l’s aparecem nas posições 23 e 21. O equivalente decimal é dez.
Notação Posicional
Número binário1010
Pesos posicionais23222120
Equivalente decimal8+0+2+0=1010
Exemplo 2: Para ressaltar este processo, converter o número binário 101101.112 no seu equivalente decimal:
Notação Posicional
Número binário101101.11
Pesos posicionais252423222120.2-12-2
Equivalente decimal32+0+8+4+0+1.0,5+0,25=45,7510
Conversão Decimal para Binária
Um número inteiro decimal pode ser convertido para uma base diferente através de divisões sucessivas pela base desejada. Para converter um número inteiro decimal no seu equivalente binário, divida o número por 2 sucessivamente e anote os restos. quando se divide por 2, o resto será sempre 1 ou 0. Os restos formam o número binário equivalente.
Como um exemplo, o número decimal 25 é convertido no seu equivalente binário.
Divisões
Resto
Divida o número decimal por dois e anote o resto. Então divida o quociente por dois e novamente anote o resto. Continue este processo de divisão até resultar zero. Então pegue os restos começando pelo último ou o “bit” mais significativo (MSB) e continue até o primeiro ou “bit” menos significativo (LSB).
O número 110012 = 2510.
25/2 = 12
1
LSB
12/2 = 6
0
6/2 = 3
0
3/2 = 1
1
1/2 = 0
1
MSB
Observe que os restos são coletados em ordem reversa. Ou seja, o primeiro resto torna-se o “bit” menos significativo, enquanto o último resto torna-se o “bit” mais significativo.
Para ressaltar, o número 175 é convertido no seu equivalente binário.
O processo de divisão continua até que seja atingido 0 como quociente. Os restos são coletados para produzir o número 101011112 = 17510.
Divisões
Resto
175/2 = 87
1
LSB
87/2 = 43
1
43/2 = 21
1
21/2 = 10
1
10/2 = 5
0
5/2 = 2
1
2/2 = 1
0
1/2 = 0
1
MSB
Nota: não tente usar calculadora para realizar esta conversão. Ela poderia apenas fornecer-lhe resultados confusos.
Conversão Decimal para Binário de um número Fracionário
Para converter uma fração decimal para uma base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela multiplicação. Para converter a fração decimal 0,3125 na sua equivalente binária multiplique repetidamente por dois. Estas multiplicações irão resultar em números com 1 ou 0 na posição das unidades (a posição a esquerda do ponto decimal). Pela gravação dos valores da posição das unidades, pode-se constituir a fração binária equivalente.
multiplicaçõesinteiroQuando 0,3125 é multiplicado por 2, a parte inteira é 0. Isto resulta o “bit” mais significativo (MSB) da fração binária equivalente. Então 0,625 é multiplicado por 2 e o produto é 1,25, a parte inteira é 1. Quando a parte inteira for 1, ela é subtraída do produto e o 1 é guardado. Portanto, apenas 0,25 é multiplicado por 2 no próximo processo de multiplicação.
0,3125 X 2 = 0,625 = 0,625MSB
0,625 X 2 = 1,250 = 0,2501
0,250 X 2 = 0,500 = 0,5000
0,500 X 2 = 1,000 = 0LSB
O método continua até que resulte um número sem parte fracionária. É importante observar que não se pode obter sempre 0 (zero) quando se multiplica por 2. Portanto, deve-se apenas continuar o processo de conversão até a precisão que se deseja. Colete os números inteiros começando pelo ponto binário com o MSB e continuando até o LSB. Esta é a mesma ordem na qual as partes inteiras são produzidas. O número 0·01012 = 0,312510.
Para ilustrar este processo, a fração decimal 0,90625 é convertida no seu equivalente binário.
O processo de multiplicação continua até que zero ou a precisão desejada é obtida. Os inteiros são então coletadas começando com o MSB no ponto binário e seguindo até o LSB.
O número 0.111012 = 0,9062510.
multiplicaçõesinteiro
0,90625 X 2 = 1,8125 = 0,81251 MSB
0,81250 X 2 = 1,6250 = 0,62501
0,62500 X 2 = 1,2500 = 0,25001
0,25000 X 2 = 0,5000 = 0,50000
0,50000 X 2 = 1,0000 = 11 LSB
Se o número decimal apresenta uma parte inteira e uma fracionária, deve-se separar as partes inteiras e fracionárias usando o ponto decimal como ponto de separação. Então realiza-se a conversão apropriada em cada parte. Após se converter à parte inteira e a parte fracionária, deve-se juntá-las.
Por exemplo, o número decimal14,375 é convertido no seu equivalente binário.
14,375 = 1410 + 0,37510
Operaçõesrestoresultados parciais
14 ÷ 2 = 70 LSB
7 ÷ 2 = 31
3 ÷ 2 = 11
1 ÷ 2 = 01 MSB1410 = 11102
inteiro
0,375 X 2 = 0,7500 MSB
0,750 X 2 = 1,5001
0,500 X 2 = 1,0001 LSB0,37510 = 0,0112
Resultado geral
14,37510 = 1110.0112

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