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Uma loja de discos classificou seus CDs em três ti...

MMN e Propedêutica




Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos A, B e C, unificando o preço para cada tipo.

Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:
O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$121,00.
O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$112,00.
O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$79,00.
O quarto comprou 1 CD de cada tipo. Calcule quanto o quarto consumidor pagou à loja.


Solução:

Sejam a , b e c os preços unitários dos CDs dos tipos A, B e C respectivamente.
Poderemos escrever, de acordo com o enunciado:

2a + 3b + c = 121 I
4a + 2b = 112 II
3a + c = 79 III
a + b + c = ? IV

O problema pediu para calcular o valor consumido pelo quarto comprador. Como ele comprou 1 CD de cada tipo, o valor gasto é igual a 1.a + 1.b + 1.c = a + b + c.

Observe que temos acima um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, o qual pode ser reescrito na forma:

2a + 3b + 1c = 121 I
4a + 2b + 0c = 112 II
3a + 0b + 1c = 79 III ==> c = 79 – 3 a . 

Utilizando o método de substituição, tirando o valor de c na terceira equação e substituindo na primeira.

Tirando o valor de c na terceira equação: 

c = 79 – 3 a .

Substituindo o valor de c na primeira equação: 

2a + 3b + (79 – 3a) = 121

Simplificando, fica: 

2a + 3b + 79 – 3a = 121 

3b – a = 121 – 79 

3b – a = 42

Assim: 
3b – a = 42

Tirando o valor de a na igualdade acima e substituindo na segunda equação do sistema linear acima, fica:
3b – 42 = a 

4(3b – 42) + 2b = 112


Fica: 12b – 168 + 2b = 112


14b = 280 

b = 280 / 14 = 20

Então, a = 3b – 42 = 3.20 – 42 = 60 – 42 = 18 e, finalmente,
c = 79 – 3a = 79 – 3.18 = 79 – 54 = 25

Logo, a = 18, b = 20 e c = 25.
Portanto, o quarto consumidor gastou a + b + c = 18 + 20 + 25 = 63
Logo, ele gastou R$63,00.


QSL?

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