42 - Estudo Analítico da Circunferência



42 - Estudo Analítico da Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
   
Equações da circunferência

Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
    Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

Equação geral
   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
   A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:


Geometria Analítica: Circunferência
   

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
  • os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
  • não deve existir o termo xy.
   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
  • 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
  • 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
  • 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
  • 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
   Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2:
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r=    0, então P pertence à circunferência;
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

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Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência  de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :
    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:




Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência  e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P







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