ENEM - Permutação com elementos repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P₁₀ = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:

Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_nvezes. Então, a permutação é calculada:

Exemplo 1:

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

Exemplo 2:

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3:

Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

↓                          ↓

1                       P^2,3₇

1 . P^2,3₇ =   7!    = 420

                  2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Por Danielle de MIranda

Graduada em Matemática

http://www.brasilescola.com/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm

Outro exemplo:

A palavra ARARAQUARA apresenta um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U 

       5, 3

P 10

Onde: 10! 10.9.8.7.6.5! 

3! = 3*2*1

P10 = 5!3! = 5! 3.2 = 10.9.8.7.6.5! = 5040 5! 3.2

Matemática Didática

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ?

Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é dada por P_n, então como na palavra CURIÓtemos 5 letras distintas, o número de anagramas seria igual a P₅, ou seja, será igual a 5! que é igual a 120.

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA?

Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?

Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.

Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P₃ = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três letras A.

O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra éP₂ = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e das letras R também entre elas mesmas.

Permutação com Elementos Repetidos

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.

Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:

Exemplos

Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P₅^{(2, 2)}:

Portanto:

O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.

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Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?

Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P₁₀^{(4, 3, 2)}:

Então:

Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.

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Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares?

Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.

No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P₅^{(2, 2)}, pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:

Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P₅^{(3, 2)}, pois o dígito 9 será utilizado na última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:

Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.

Logo:

Dos números formados, 40 deles são ímpares.

http://www.matematicadidatica.com.br/PermutacaoElementosRepetidos.aspx