Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24
Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24
Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.
Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades
b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.
Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades
b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.
P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Exercícios Resolvidos (Matemática na veia)
1) Quantas palavras com significado ou não de 3 letras podemos formar com as letras A,L,I?
Vamos denotar o conjunto das letras A,L,I sendo X= {A,L,I}
Como estamos trabalhando com permutações, então P=n , logo temos
3 possibilidades para a 1º posição
3-1 possibilidades para a 2º posição
3-2 possibilidades para a 3º posição
Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!
Ou seja se temos 3 elementos, então P3 =3! = 6 palavras diferentes.
2) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 2,4, 6 e 8?
Vamos denotar o conjunto dos números dados sendo X= {2,4,6,8}
4 possibilidades para a 1º posição
4-1 possibilidades para a 2º posição
4-2 possibilidades para a 3º posição
4-3 possibilidades para a 4º posição
Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!
Ou seja se temos 4 elementos, então P4 =4! = 24 números.
Observe na tabela abaixo, que fixados o 1º e 2º números os outros dois são permutados entre si.
2
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4
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6
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8
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2
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4
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8
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6
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2
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4
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8
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2
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6
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2
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3) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?
Vamos denotar o conjunto destas cinco pessoas sendo X={ P,M,F1,F2,F3}
Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!
Ou seja se temos 5 elementos, então P5 =5! = 120 maneiras diferentes.
4) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas sempre juntas, em qualquer ordem?
O procedimento neste exercício é um pouco diferente do anterior.
Como temos a condição de que duas delas sempre estarão juntas em qualquer ordem,então vamos supor que as duas sejam uma só pessoa.
Vamos começar colocando o Pai(P) e a mãe(M) juntos
PM
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F1
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F2
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F3
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PM
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F1
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F3
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F2
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PM
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F2
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F1
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F3
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F3
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F1
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PM
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F3
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F2
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PM
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F3
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F2
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F1
|
Note que neste caso temos apenas 4 elementos, pois dois são tomados com se fossem apenas um.
Fixamos o Pai (P) e a Mãe (M) e permutamos os filhos F1,F2,F3 entre si.
Do mesmo modo Fixamos mais dois e fazemos o mesmo procedimento.
Logo temos sempre 4 elementos.
4 possibilidades para a 1º posição
4-1 possibilidades para a 2º posição
4-2 possibilidades para a 3º posição
4-3 possibilidades para a 4º posição
Então P4 = 4! , mas com ainda temos que permutar os dois elementos que ficaram juntos “em qualquer ordem”. Então temos que a permutação entre 2 elementos é 2!.
Logo temos 4!.2! = 48 maneiras.
5) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra AMOR?
Esta vamos fazer direto.
São 4 letras. Logo temos P4 = 4! = 24 anagramas.
6) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra DISQUE?
Esta vamos fazer direto.
São 6 letras. Logo temos P6 = 6! = 720 anagramas.
7) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra PORTA?
Esta vamos fazer direto.
São 5 letras. Logo temos P5 = 5! = 120 anagramas.
8) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra PERDÃO?
Esta vamos fazer direto.
São 6 letras. Logo temos P6 = 6! = 720 anagramas.
9) Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos?
Neste problema, usamos todos os objetos (os 10 livros) e a ordem de
arrumação faz diferença. Logo, trata-se de uma permutação de 10 objetos.
10! = 3 628 800
Há 3 628 800 maneiras de arrumar os livros na prateleira.
10) No exemplo anterior, a bibliotecária levou a maior bronca, pois deveria ter
deixado junto os livros de mesma matéria! E agora, de quantas formas poderá
arrumá-los?
Os três livros de Matemática podem ser arrumados de 3! = 6 maneiras.
Os quatros de Física de 4! = 24 maneiras e os de Química de 3! = 6 maneiras.
Além disso, podemos variar a ordem de arrumação das matérias:
Química, Física, Matemática ou
Física, Química, Matemática ou
Matemática, Física, Química etc.
Como podemos variar a ordem das matérias de 3! = 6 formas diferentes,
poderemos arrumar os livros de:
11) No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa como o da figura
abaixo. Cada funcionário do setor gosta de arrumar estas caixas em uma ordem
diferente (por exemplo: entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada
etc.). De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas?
Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entrada (E) - vamos
escolher uma delas para ficar embaixo. Escolhida a caixa inferior, sobram 2
escolhas para a caixa que ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras.
Então, usando o princípio multiplicativo temos 3! = 3 · 2 · 1 = 6 opções
Assim, as soluções são:
12) De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?
Solução:
Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas são P1, P2, P3, P4, P5, P6 e que precisamos arrumá-las nesta fila:
Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos cinco pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar , como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida.
Pelo princípio multiplicativo temos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções
13) Quantos números diferentes de 4 algarismos podemos formar usando apenas
os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Solução:
Como são 4 algarismos diferentes, que serão permutados em 4 posições, a solução é:
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 números diferentes
14) Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?
Solução:
Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R,
T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis
com essas letras, ou seja:
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
15) Quantos anagramas que comecem e terminem por consoantes podemos formar a partir da palavra MARTELO?
Solução:
A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a consoante final de 3 maneiras. As 5 letras restantes serão permutadas entre as duas consoantes já escolhidas. Portanto, a resposta é 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas
16) Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De
quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?
Solução:
O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo:
2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras
Como neste exemplo vimos que em alguns problemas (que envolvem permutações dos elementos de um conjunto) podem existir restrições que devem ser levadas em conta na resolução.
Portanto, fique sempre muito atento ao enunciado da questão, procurando compreendê-lo completamente antes de buscar a solução.
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.
Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro - TC2000 - Matemática - vol 3, 2º grau aula 52.
Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.
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