Triângulos

Malba Tahan Nerd (Profº Malba Tahan ®): Triângulos:


Triângulos


Casos de Semelhança de Triângulos

     Não é necessário conferir se todos os ângulos de dois triângulos são congruentes e se todos os lados dos mesmos são proporcionais para saber se ambos são semelhantes, basta que eles apresentem algumas das condições necessárias.
     Estudaremos, a seguir, três casos que facilitam determinar quando triângulos são semelhantes.

     Caso AA (Ângulo, Ângulo)
     Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro, os dois triângulos são semelhantes.







     A partir deste caso de semelhança, podemos perceber que todos os triângulos retângulos e isósceles são semelhantes, já que sempre terão os ângulos congruentes de 90º, 45º e 45º.


     Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
     Se todos os lados de um triângulo forem proporcionais aos lados de outro, os dois triângulos são semelhantes.
 

     Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)
     Se dois triângulos possuírem um ângulo congruente formado entre dois lados de medidas proporcionais, os dois triângulos são semelhantes.



     Dica de vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=WMTZc44DcW4




RELAÇÕES MÉTRICAS


Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².
 
Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:

Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

h² = mn           b² = ma               c² = an              bc = ah


Aplicações do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.

Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:


Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:
x² = a² + b²
d² = x² + c²

substituindo, temos:

Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo) 

Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:
a = b = c = 
 
Por Marcos Noé

Relações métricas nos triângulos quaisquer

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Relações métricas nos triângulos quaisquer
Triângulo Acutângulo (três ângulos são agudos)
Em todo triângulo, o quadrado da medida do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto da medida de um deles pela medida da projeção do outro sobre ele.”
Vejamos:
Triângulo Obtusângulo (possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos) 
“Em todo triângulo obtusângulo, o quadrado da medida do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, mais duas vezes o produto da medida de um deles deles pela medida da projeção do outro sobre ele”.
Vejamos:







 http://www.brasilescola.com/matematica/relacoes-metricas.htm
http://www.colegioweb.com.br/relacoes-metricas-nos-triangulos/relacoes-metricas-nos-triangulos-quaisquer.html
http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html