ENEM - Equação do 2º Grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

ax² + bx + c = 0

Dedução da fórmula de Bhaskara

Normalmente essa formula é apresentada ao estudante pela primeira vez no nono ano do ensino fundamental. A apresentação é feita como se ela tivesse caído do céu, sem explicações de como se chega a ela. Desta maneira, o estudante aceita essa fórmula tão fundamental como algo solto. Para nossa felicidade, a dedução da fórmula de Bhaskara é muito simples e rápida. É um enigma para mim o fato dessa dedução não ser apresentada, pelo menos uma vez, na maioria das escolas. 

Bhaskara, um dos principais matemáticos indianos medievais, encontrou uma fórmula geral para resolver equações de segundo grau do tipo:

  

ax² + bx + c = 0,  a ≠0.

Para isso, basta saber/lembrar como se manipula álgebra elementar, envolvendo binômios e trinômios. Vemos que existem dois termos com X. O nosso objetivo é isolar X, de modo que ele fique num único termo. Para isso, basta manipular a equação de tal maneira para completarmos um trinômio quadrado perfeito envolvendo X, de maneira que o trinômio possa ser fatorado para alcançar o nosso objetivo. Veja a dedução e tudo ficará claro.

Multipliquemos por (4a) e em seguida somemos b² em ambos os lados da igualdade

4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b²

Somemos (-4ac em ambos os lados da equação)

 4a²x² + 4abx + 4ac - 4ac + b² = b² - 4ac

 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

Denominaremos de agora em diante b² - 4ac como sendo o discriminante ∆

 4a²x² + 4abx + b² = ∆

  

Note que o trinômio  4a² + 4abx + b² = (2a + b)²

Dessa forma

(2*a*x + b)² = ∆

Extraindo-se a raiz quadrada em ambos os lados

√(2*a*x + b)² = √∆

 Temos agora:

2*a*x + b = √∆

Agora isolemos o x

2*a*x = √∆ - b

x = (- b √∆)/2*a

Considerando que delta possui duas raízes simétricas em relação ao 0.

x = (- b ±√∆)/2.a ==> Fórmula de Bhaskara

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:




1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)
? = b² – 4 * a * c
? = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
? = 4 + 12
? = 16

2º passo


Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

? = b² – 4 * a * c
? = 8² – 4 * 1 * 16
? = 64 – 64
? = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.


Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

? = b² – 4 * a * c
? = 6² – 4 * 10 * 10
? = 36 – 400
? = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Ligeiramente modificado

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm