Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações métricas
Relações métricas nos triângulos retângulos
Projeção ortogonal de segmentos:
Elementos de um triângulo retângulo
No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos:
Relações métricas num triângulo retângulo
Vejamos:
Relações das semelhanças dos triângulos:
1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa.
2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Logo, temos:
3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Logo, temos:
4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das medidas dos catetos.
Logo, temos:
Resumo das relações métricas no triângulo retângulo
No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos:
Resumindo:
Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m (Relações de Euclides
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h (derivado do teorema de Pitágoras)
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
Pelo teorema de Pitágoras:
13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
x = 5
Como ah = bc
5.12 = 13.y
y = 60/13
b)
Pelo teorema de Pitágoras:
5² = 3 + x²
25 = 9 + x²
x² = 16
x = 4
Como ah = bc
5.h= 3 * 4
5h = 12
h = 12/5
h = 2,4
Como c² = an
9 = 5 n
n = 9/5
n = 1,8
Como b² = am
16 = 5 m
n = 3,2
c)
d)
d² = 4² + 5¢
d = sqrt (41)
Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.
l² = l²/4 + h²
Multiplicando a equação por 4
4l² = l² + 4h²
Isolando o h
4h² = 4l² - l²
h² = 3l²/4
h = l *Sqrt(3)/2
Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.
b)
c)
Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....
Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
Resumindo temos a tabela:
Exercícios resolvidos:
1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
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