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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Exercícios Resolvidos "Estudo Analítico do Ponto"

Plano Cartesiano

1) Represente no plano cartesiano, os seguintes pontos:
  a) A(1,3)      c) C(0,4)
  b) B(-1,-2)    d) D(2,0)
  
a)                                b)                                             c)                               d)
                  

Distância entre dois pontos

2) Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:
  a) (2,3) e (2,5)   c) (0,6) e (1,5)
  b) (2,1) e (-2,4)  d) (6,3) e (2,7)

a)                                                  b)                                                
      

c)                                                  d)
    

Ponto Médio

3) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
  a) A(2,6) B(4,10)    c) A(3,1) B(4,3) 
  b) A(2,6) B(4,2)     d) A(2,3) B(4,-2)

                                            a)                                            b)                                           
                                                
                                            c)                                            d)
                                               

Baricentro de um Triângulo

4) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices:
  a) A(3,1); B(2,6); C(4,2)             b) A(1,0); B(-2,4); C(3,-5)

a)                                                          b)
   

Área de um Triângulo

5) Determine a área do triângulo ABC nos casos:
  a) A(1,-1) B(2,1) C(2,2)
  b) A(3,4) B(-2,3) C(1,1)

a)
            

b)
           

Condição de Alinhamento

6) Verifique se os pontos A, B e C abaixo são colineares (estão alinhados) nos seguintes casos:

  a) A(0,3) B(4,0) C(5,0)
  b) A(2,2) B(5,5) C(-3,-3)

a)                                                      b)
    




Exercícios Resolvidos "Estudo da Reta"

Equação Geral da Reta
1) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (-1,-2) e B (5,2):
Podemos encontrar a equação geral calculando determinante:

O através da formula do coeficiente angular :
  com o ponto A (-1,-2), escrevemos a equação:
Equação Reduzida da Reta

2) Escreva as equações reduzidas das retas determinadas por:
  a) A(2,3) B(0,1)
  b) M(-3,-1) N(2,-5)

 a)
  3x - 0y + 2 - 0 - 2y - x = 0  2x - 2y + 2 = 0    -2y = -2x - 2    y = x + 1

b)
  -x + 2y + 15 + 2 + 3y + 5x = 0   4x + 5y + 17 = 0   5y = -4x - 17    y = -4 x - 17
                                                                                                                                    5       5   

Coeficiente angular

3) Calcule o coeficiente angular das retas de equações:
  a) 3x + 4y - 7 = 0
  b) -6x + 8y + 3 = 0

a) 4y = -3x + 7
      y = -3 x + 7   coeficiente angular = -3
             4       4                                   4

b) 8y = 6x - 3
       y = 6 x - 3 = 3 x - 3     coeficiente angular  = 3
             8      8    4      8                                    4

Intersecção de Retas

4) Determine o ponto de intersecção dos seguintes pares de retas concorrentes:
  a) 3x + 2y - 8 = 0 e 4x + 5y - 13 = 0
  b) 2x - 5y - 2 = 0 e 3x + 5y -28 = 0

a)  3x + 2y = 8   . (-4)     -12x - 8y = -32       7y = 7
     4x + 5y = 13 . (3)       12x + 15y = 39      y = 7 = 1
                                       0x + 7y = 7               7      
3x + 2.1 = 8
  x = 6 = 2          I (2,1)
        3   

b) 2x - 5y = 2       5x = 30            2.6 - 5y = 2
    3x + 5y = 28      x = 30 = 6       -5y = 2 - 12
    5x + 0y = 30            5                y = -10 = 2            I (6,2)
                                                           -5   

Paralelismo m1 = m2

5) Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas em cada um dos seguintes casos:
  a) r: 6x + 7y + 3 = 0 e s: 12x + 14y - 21 = 0
  b) r: 5x + 3y - 10 = 0 e s: 5x - 10y - 10 = 0

a) 7y = -6x - 3       14y = -12x - 21 y = -12 x - 21  y = -6 x - 3     
      y = -6 x -3                                    14      14         7     2
             7    7 
coeficiente angular igual, portanto r//s.  m1 = m2

b) 3y = -5x +10      -10y = -5x + 10  y = 5 x - 10  y = 1 x - 1
      y = -5 x + 10                                 10    10        2
             3        3
coeficiente angular diferente, portanto r não paralela a s. m1 diferente de m2

Perpendicularismo m1.m2 = -1

6) Verifique se as retas r e s abaixo são perpendiculares em cada um dos casos:
  a) r: x + 7y - 10 = 0 e s: y = 7x + 3
  b) r: x - y + 7 = 0 e s: 2x + 5y - 7 = 0   

a) r: 7y = -x + 10           s: y = 7x + 3
      y = -1 x + 10                  m1.m2 = -1    -1 . 7 = -7 = -1    r e s são perpendiculares 
             7       7                                         7         7 

b)r:  -y = -x - 7        y = 1x + 7     s: 5y = -2x + 7 
     y = 1 x + 7                                 y = -2 x + 7       1 . -2 = -2   r e s não são perpendiculares e nem paralelas
           1      1                                        5       5             5     5     

Exercícios Resolvidos "Estudo da Circunferência"

Equação geral da Circunferência
1) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos:                                                            
  a) C(3,2) e r = 7     b) C(-3,4) e r = 3
a) (x - a) ² + (y - b) ² = r ²                        b) (x - (-3)) ² + (y - 4) ² = 3 ²
    (x - 3) ² + (y - 2) ² = 7 ²                         x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16 - 9 = 0
 x ² - 6x + 9 + y ² - 4y + 4 - 49 = 0             x ² + y ² + 6x - 8y + 16 = 0
x ² + y ² - 6x - 4y - 36 = 0

Equação reduzida da circunferência
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem:
  a) C(2,5) r = 3     b) C(-1,-4) r = 2
a) (x - 2) ² + (y - 5) ² = 9          b) (x + 1) ² + (y + 4) ² = 4

3) Determine o centro e o raio das circunferências de equações:
  a) (x - 4) ² + (y - 5)² = 9        b) x ² + y ² = 2
a) C(4,5) r = 3                   b) C(0,0) r = raiz de 2


Bibliografia

http://www.infoescola.com/geometria-analitica/equacoes-da-reta/
http://www.somatematica.com.br/emedio/circunferencia/circunf.php
http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas8.phtml

Exercícios dirigidos em aula


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