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ENEM - Pontos notáveis do triângulo

Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura. 


Vértices, lados e ângulos. 


Vértices: A, B e C
Lados: AB, BC e AC
Ângulos: A, B e C

Mediana

Uma mediana é um segmento que divide a cada uma das bases (lados) do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Observe a figura:





A, B e C são os vértices do ΔABC.
M ponto médio da base BC, dessa forma BM = MC.
AM segmento de reta com extremidades no vértice A e no ponto médio M, portanto, nesse exemplo podemos dizer que o segmento AM é a mediana do ΔABC.


BissetrizBissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. Veja o exemplo:




AS é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais.


Altura 
Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular ou ortogonal (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. 

Altura no triângulo acutângulo



O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC.

Altura no triângulo retângulo


Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG.

Altura no triângulo obtusângulo



A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do ΔPQR.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola 



Incentro 
Incentro de um triângulo é o ponto de cruzamento das bissetrizes internas desse triângulo. Esse incentro equidista dos lados dos triângulos sendo assim o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
Vejamos: 
Circuncentro: 
Circuncentro é considerado o ponto de cruzamento das mediatrizes dos lados do triângulo. 

Vejamos: 
Observação: ,

Definições sobre o circuncentro do triângulo
• Acutângulo é um ponto da região interior do triângulo. 

• Obtusângulo é um ponto da região exterior do triangulo. 
• Retângulo é um ponto médio da hipotenusa.
Vejamos: 
Baricentro: 
Baricentro é encontro das medianas do triângulo. 

Vejamos: 
O baricentro também pode ser chamado de centro de gravidade do triângulo, dividindo assim cada mediana dentro da razão de 2:1. 
Ortocentro: 
Ortocentro é o ponto onde interceptam as retas suportes das alturas do triângulo. 
Importantes definições sobre o ortocentro do triângulo: 
• Acutângulo é um ponto na região interior do triângulo.
• Obtusângulo é um ponto na região exterior do triângulo. 

• Retângulo é o vértice do ângulo reto. 



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